ბელა აკობიძის პორტფოლიო: მათემატიკის სტანდარტი

სწავლა-სწავლების მიზნები

„მათემატიკის“ სწავლა-სწავლება მიზნად ისახავს მოსწავლისათვის:

· მათემატიკის, როგორც სამყაროს აღწერისა და მეცნიერების უნივერსალური ენის შესწავლას;

· ცხოვრებისეული პრობლემების გადაჭრის პროცესში მათემატიკის შესაძლებლობების ჩვენებას;

· პრობლემების მათემატიკურად გადაჭრისას კრიტიკული, შემოქმედებითი, სიმბოლური

აზროვნების და ლოგიკური, არგუმენტირებული მსჯელობის უნარის განვითარებას;

· მათემატიკასა და გარემომცველ სამყაროში კანონზომიერებების, ასევე მიზეზ-შედეგობრივი

კავშირების დადგენის უნარების განვითარებას;

· ციფრული რესურსის გამოყენებით ზუსტი და მიახლოებითი გამოთვლების შესრულებას,

კვლევის ორგანიზებას, სიმულაციებით მათემატიკური ობიექტებისა და რეალური

პროცესების შესაბამისი მარტივი მოდელის შექმნას;

· მრავალფეროვანი მათემატიკური სტრატეგიებისა და მიდგომების გამოყენებით ყოფითი

ამოცანების წარმატებით გააჭრის შესაძლებლობების გაცნობას;

· პრობლემური საკითხის ანალიზის და მსჯელობის პროცესში სამოქალაქო ცნობიერების ამაღლებას.

მათემატიკა - საბაზო საფეხური ( VII-X კლასები )

სწავლის შედეგები

საგნის ,,მათემატიკა" ფარგლებში საფეხურის შედეგების მიღწევის/კომპეტენციების განვითარების

საფუძველს ქმნის ცნებების - ,,მათემატიკური მოდელი", ,,კანონზომიერება", ,,ლოგიკა-ლოგიკური

მსჯელობა" ურთიერთდაკავშირებული გააზრება.

სწავლის შედეგი

შეფასების ინდიკატორი - მოსწავლეს შეუძლია:

სამიზნე ცნების აღწერა - მოსწავლე აცნობიერებს, რომ:

(1) საკვლევი ობიექტის, პროცესის, სიტუაციის, მოვლენის აღმწერი მათემატიკური მოდელის შექმნა, აგება და მისი გამოყენება შესაბამისი პრობლემის გადასაჭრელად, მიღებული შედეგების წარდგენა და ვიზუალიზაცია ციფრული ტექნოლოგიების გამოყენებით, მოვლენის ანალიზისა და შესწავლისთვის

რიცხვები და მოქმედებები

· მთელი, რაციონალური, ირაციონალური, ნამდვილი რიცხვების წაკითხვა, ჩაწერა ეკვივალენტური ფორმით.

· რეალურ ცხოვრებაში სხვადასხვა საკვლევი, სამეცნიერო საკითხისა თუ ყოფითი მოვლენის განხილვისას სიდიდეების წარმოდგენა შესაბამისი რიცხვითი მახასიათებლებით;

· ყოველდღიურ ცხოვრებაში სხვადასხვა სიტუაციების მოდელირება რიცხვითი გამოსახულების გამოყენებით;

· რეალური მოვლენის აღწერა მათემატიკური მოდელების: სიდიდეთა შეფარდების, პროცენტის, მარტივი და რთული დარიცხვის ფორმულის, პროპორციის, სკალის, მასშტაბის გამოყენებით და მასთან დაკავშირებული პრობლემის გადაჭრა;

ალგებრა

· უცნობი რაოდენობის, ცვლადი სიდიდის წარმოდგენა/მოდელირება;

· ვერბალურად აღწერილი სიტუაციის შესაბამისი მათემატიკური მოდელის (ალგებრული გამოსახულების/ფორმულის, განტოლების, განტოლებათა სისტემის, უტოლობის, უტოლობათა სისტემის) ჩაწერა/ახსნა და პრობლემის გადაჭრა;

· ორუცნობიანი წრფივ განტოლებათა სისტემის ამონახსნთა გეომეტრიული ინტერპრეტაცია/მოდელირება;

· შესასწავლი მოვლენიდან გამომდინარე ცვლად/მუდმივ სიდიდეთა შორის კავშირის წარმოდგენა/მოდელირება შესაბამისი ერთი ან რამდენიმე ფორმით: სიტყვიერად, ცხრილის, გრაფიკის, განტოლებების ან/და უტოლობების მეშვეობით;

· ფუნქციის გამოყენება სხვადასხვა კონტექსტში ცვლილებათა გასაანალიზებლად. რეალური მოვლენის, პროცესის აღწერა ფუნქციით და მასთან დაკავშირებული პრობლემის გადაჭრა;

· რეალური მოვლენის, სიტუაციის, პროცესის მოდელირება მიმდევრობებით, მათ შორის არითმეტიკული/გეომეტრიული პროგრესიებით;

· რეალური პროცესის აღწერა დისკრეტული მოდელებით და პრობლების გადაჭრა.

გეომეტრია და გაზომვა

· რეალური სიტუაციის შესაბამისი მათემატიკური მოდელის შედგენა გეომეტრიულ ფიგურათა თვისებების გამოყენებით და პრობლემის გადაჭრა;

· გეომეტრიული ობიექტების ადგილმდებარეობის დადგენა სიბრტყეზე და სივრცეში კოორდინატების გამოყენებით;

· ერთი და იგივე ტიპის გეომეტრიული გარდაქმნების (პარალელური გადატანა, მობრუნებები ერთი და იგივე ცენტრის გარშემო, ღერძული სიმეტრიები პარალელური ღერძების მიმართ, საერთო ცენტრის მქონე ჰომოთეტიები) კომპოზიციების მოდელირება;

· გეომეტრიული გარდაქმნების საშუალებით რეალური სიტუაციების ანალიზი და ტექნოლოგიების გამოყენებით სიტუაციის მოდელირება;

· გარემომცველ სამყაროში არსებული მოვლენის, ობიექტის აღწერა მათემატიკური მოდელების: სიდიდეთა შეფარდების, მსგავსების, ტრიგონომეტრიული თანაფარდობის, პერიმეტრის, ფართობის, მოცულობის გამოსათვლელი ფორმულის გამოყენებით;

ალბათობა და სტატისტიკა

· საკვლევ კითხვასთან დაკავშირებული კითხვარის შედგენა და რესპოდენტთა გამოკითხვა, მარტივი სტატისტიკური ექსპერიმენტის დაგეგმვა/ჩატარება და მონაცემების შეგროვება;

· თვისებრივ და რაოდენობრივ მონაცემთა შეგროვება, ორგანიზება (ინტერვალებად დაჯგუფებული რაოდენობრივი მონაცემები), სიხშირეთა ცხრილის შედგენა;

· მონაცემთა წარმოდგენა შესაბამისი ფორმით (ცხრილი, წრიული დიაგრამა, ხაზოვანი დიაგრამა, სვეტოვანი დიაგრამა, ჰისტოგრამა და სხვა) და რეალური ვითარების მოდელირება; სხვადასხვა დიაგრამების ასაგებად ტექნოლოგიების გამოყენება;

· ალბათური ცნებების გამოყენება ყოველდღიურ ვითარებაში და რეალური მოვლენის, სიტუაციის შემთხვევითობის ალბათური მოდელების საშუალებით აღწერა/დახასიათება.

სამიზნე ცნება "მათემატიკური მოდელი" - მათემატიკური მოდელი აღწერს რეალურ მოვლენას, პროცესს, შესასწავლ ობიექტს მათემატიკური სიმბოლოების და ენის გამოყენებით. მათემატიკური მოდელირებისას მნიშვნელოვანია უცნობი რაოდენობების, სიდიდეების ერთმანეთთან დაკავშირება და სხვადასხვა ფორმით წარმოდგენა. მათემატიკური მოდელი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს: რიცხვითი და ალგებრული გამოსახულებების, განტოლებების, უტოლობების, ფუნქციის, გეომეტრიული ფიგურების, ცხრილების, დიაგრამების, სიდიდეების, გრაფიკის, ასევე ჩამოთვლილთა ერთობლიობის სახით. მათემატიკური მოდელის საშუალებით შესაძლებელია როგორც მათემატიკური, ასევე საყოფაცხოვრებო მოვლენის დახასიათება, მისი არსებითი ნიშან-თვისებების გარკვევა და პრობლემის გადაჭრა.

რეალური მოვლენის მათემატიკური მოდელირების პროცესი მოიცავს: პრობლემის გააზრებას, შესაბამისი მათემატიკური მოდელის შექმნას, ამოხსნის ალგორითმის შემუშავებას, ამონახსნის მიღებას, შედეგების ინტერპრეტაციას რეალურ კონტექსტში, მოდელის გადახედვასა და გაუმჯობესებას.

(2) რიცხვებში, ალგებრულ ობიექტებში, მონაცემებში, გეომეტრიულ ფიგურებსა და მის ელემენტებში მიმართებების, დამოკიდებულებების (მათ შორის, ფუქნციური დამოკიდებულებების) და კანონზომიერებების აღმოჩენა, აღწერა, გაგრძელება, გამოყენება მათემატიკური მოდელის შექმნა და გამოყენება მათემატიკური, საბუნებისმეტყველო ან ყოველდღიური მოვლენების გასააზრებლად, პროგნოზირებისა და პრობლემის გადასაჭრელად.

რიცხვები და მოქმედებები

· ნამდვილი რიცხვების შედარება, დამრგვალება, წარმოდგენა რიცხვით ღერძზე, რიცხვების თვისებების გამოკვლევა ათობითი პოზიციური სისტემის გამოყენებით;

· რიცხვითი გამოსახულების მნიშვნელობის გამოთვლა სხვადასხვა სტრატეგიით, მოქმედებათა თვისებების, მოქმედებათა თანმიმდევრობისა და მათ შორის კავშირების/კანონზომიერების გამოყენებით;

· სიდიდეებსა და მათ ერთეულებს შორის თანაფარდობის გამოთვლა; სიდიდის ცვლილებასთან, მასშტაბთან დაკავშირებული ამოცანების ამოხსნისას კანონზომიერების აღმოჩენა; ერთ სისტემაში მოცემული ერთეულის სხვა სისტემის ერთეულით გამოსახვა;

· სიდიდეებს შორის პროპორციული დამოკიდებულების აღმოჩენა, გამოყენება, რიცხვის დაყოფა პროპორციულ ნაწილებად;

· პროცენტული ცვლილების დადგენა. დარიცხვის მარტივი/რთული პროცენტის წესის დადგენა და ფორმულირება;

· კანონზომიერების აღმოჩენა რიცხვით მიმდევრობაში; პერიოდულ მიმდევრობაში მიმდევრობის პერიოდის გამოყოფა; არითმეტიკული/გეომეტრიული პროგრესიების ამოცნობა;

· რიცხვის მთელი/წილადი მაჩვენებლის მქონე ხარისხის ინტერპრეტაცია და მისი თვისებების დემონსტრირება;

· მათემატიკური მეთოდების ანდა ტექნოლოგიების საშუალებით ზუსტი ან მიახლოებითი გამოთვლების შესრულება, მიღებული შედეგების შეფასება;

ალგებრა

· ალგებრული ოპერაციების და მათი თვისებების აღმოჩენა/გამოყენება;

· ალგებრული გამოსახულების გამარტივების, გარდაქმნის შედეგად ტოლფასი გამოსახულების მიღება; შემოკლებული გამრავლების ფორმულის გამოყვანა, გამოყენება.

· ტოლფას (ეკვივალენტურ) განტოლებებს/უტოლობებს შორის კანონზომიერების აღმოჩენა და გამოყენება;

· არითმეტიკული მოქმედებების თვისებების, ტოლობისა და უტოლობის თვისებების, ასევე სხვადასხვა სტრატეგიის გამოყენებით (სრული კვადრატის გამოყოფა, ნამრავლად წარმოდგენის წესი და სხვა) განტოლების/უტოლობის ამონახსნის პოვნა.

· სიმრავლეთა შორის (რიცხვით სიმრავლეებს შორის) მიმართებების დადგენა, მათ შორის კანონზომიერების შემჩნევა; ნამდვილ რიცხვთა ქვესიმრავლეების ერთმანეთთან დაკავშირება სიმრავლეთა თეორიის ენის გამოყენებით (ქვესიმრავლე, სიმრავლეთა თანაკვეთა, გაერთიანება, სხვაობა, დამატება); ვენის დიაგრამების გამოყენება;

· სიდიდეებს შორის დამოკიდებულების , კანონზომიერების აღმწერი ფუნქციის ტიპის ამოცნობა: წრფივი, კვადრატული, პირდაპირპროპორციული/უკუპროპორციული და სხვა; სიდიდეებს შორის დამოკიდებულებების ფორმულირება;

· ფუნქციებისა და მათი თვისებების აღმოჩენა, გამოყენება სიდიდეებს შორის დამოკიდებულების აღსაწერად და გამოსაკვლევად.

გეომეტრია და გაზომვა

· რეალურ ცხოვრებაში გეომეტრიული მოდელების (ბრტყელი და სივრცული ფიგურების) კლასიფიკაცია ფორმის და ზომის მიხედვით; ფიგურის ელემენტებს შორის დამოკიდებულებების დადგენა;

· გეომეტრიული ფიგურის მეტრულ ზომებს შორის კანონზომიერების აღმოჩენა;

· გეომეტრიულ ფიგურათა ზომების (სიგრძე, პერიმეტრი, ფართობი, ზედაპირის ფართობი, მოცულობა) დასადგენად შესაბამისი ფორმულის გამოყვანა და გამოყენება;

· გეომეტრიული გიფურის ელემენტებს შორის კავშირების/კანონზომიერების დადგენა და წარმოდგენა ფორმულის მეშვეობით (პითაგორას თეორემა, სინუსების და კოსინუსების თეორემა და სხვა);

· მართკუთხა სამკუთხედის გვერდებსა და კუთხეებს შორის კავშირის დადგენა ტრიგონომეტრიული თანაფარდობების მეშვეობით;

· გეომეტრიულ ფიგურების ელემენტებს შორის პროპორციული დამოკიდებულების დადგენა და დაკავშირება (მაგ. მსგავსება);

· სიბრტყეზე გეომეტრიული გარდაქმნების გამოყენება ფიგურათა თვისებების დასადგენად.

· სიბრტყეზე ვექტორებზე ოპერაციების შესრულება და მათი გამოყენება გეომეტრიული და საბუნებისმეტყველო პრობლემების გადაჭრისას.

სტატისტიკა და ალბათობა

· მონაცემების მოწესრიგება, სხვადასხვა ფორმით წარმოდგენა და მათში გარკვეული კანონზომიერებების აღმოჩენა;

· დაწყვილებულ მონაცემებს შორის კავშირის დადგენა;

· რეალური მოვლენის, სიტუაციის შემთხვევითობის ალბათური მოდელების საშუალებით აღწერა, ალბათობის შეფასება, შედეგების პროგნოზირება.

სამიზნე ცნება "კანონზომიერება" - კანონზომიერება გამოხატავს ობიექტების, მოვლენების მოწესრიგებულ ურთიერთმიმართებებს (დამოკიდებულებებს); კანონზომიერება ვლინდება რიცხვებში, ალგებრულ და გეომეტრიულ ობიექტებში, მონაცემებში. მათემატიკა სწავლობს რიცხვით და არარიცხვით კანონზომიერებებს.

კანონზომიერების წარმოდგენა შესაძლებელია სიტყვიერად, გრაფიკულად, სიმბოლოების, ცხრილის და მათემატიკური მოდელების გამოყენებით. მათემატიკური კანონზომიერების აღმოჩენა, აღწერა და შესწავლა შესაძლებელია ისეთ მათემატიკურ ობიექტებსა და მათ თვისებებში, როგორებიცაა: რიცხვები, მიმდევრობა, არითმეტიკული ოპერაციები და მათი თვისებები, გეომეტრიული ფიგურები და მათი თვისებები, ალგებრული (ტოლობა, უტოლობა, განტოლება, ასოითი გამოსახულება) და სტატისტიკური ობიექტები, ალბათური მოდელები. სამყაროში არსებული კანონზომიერების ჩაწერა, აღწერა შესაძლებელია მათემატიკის გამოყენებით. კანონზომიერებების მათემატიკური აღწერით შესაძლებელია ვარაუდის გამოთქმა, ახალი თვისებების აღმოჩენა, პრობლემის გადაჭრა.

(3) ლოგიკური მსჯელობა, შესაბამისი სიმბოლოებისა და ტერმინების გამოყენება მათემატიკური ობიექტების, მათი თვისებების და მათ შორის მიმართებების დასაბუთებისა და ახსნისთვის; რეალური მოვლენის, მათემატიკური ობიექტების განხილვისას მიზეზ-შედეგობრივი კავშირების დადგენა ინდუქციური ან დედუქციური მსჯელობის გამოყენებით; ინფორმაციის ანალიზი და მიღებული დასკვნების ლოგიკური დასაბუთება. მსჯელობის პროცესის განვითარება, ალტერნატიული გზების მოძიება, მიღებული გადაწყვეტილებების სისწორისა და ეფექტიანობის შეფასება რეალური და მათემატიკური პრობლემის გადაჭრისთვის;

რიცხვები და მოქმედებები

· რაოდენობასა და სიმბოლურ (აბსტრაქტულ) მოდელებს შორის კავშირების დამყარება და ახსნა;

· სხვადასხვა ფუძით პოზიციური სისტემების ერთმანეთთან შედარება; მსჯელობა/დასაბუთება თითოეულის უპირატესობაზე სხვადასხვა შემთხვევებში;

· რიცხვების შედარება, დალაგება, კლასიფიკაცია შესაბამისი ნიშნის, წესის გამოყენებით და აღნიშნული წესის ახსნა;

· რიცხვებს შორის დამოკიდებულებებზე და მათ თვისებებზე მარტივი დებულებების ჩამოყალიბება და დასაბუთება;

· რიცხვებზე მოქმედებათა თვისებების, ამ მოქმედებებს შორის კანონზომიერების შემჩნევა/დასაბუთება;

· რიცხვების გამოყენებით სიდიდეებს შორის დამოკიდებულებებისა და მიმართებების აღწერა, დასაბუთება, წესების ფორმულირება/ახსნა;

· რაოდენობრივი მსჯელობა, ჰიპოთეზების ჩამოყალიბება, მათი დადასტურება ან უარყოფა კონტრმაგალითით;

ალგებრა

· განტოლებებთან, უტოლობებთან და ასოით გამოსახულებებთან მიმართებაში მათემატიკური ტერმინების, აღნიშვნებისა და სიმბოლოების კორექტულად გამოყენება;

· ალგებრული გარდაქმნების, ტოლობის და უტოლობების თვისებების აღმოჩენა, დასაბუთება გეომეტრიული მოდელების მეშვეობით.

· ლოგიკური მსჯელობის გამოყენებით ორი ალგებრული გამოსახულების იგივური ტოლობის ან უტოლობის დასაბუთება შესაბამისი თვისებების გამოყენებით;

· ტოლფას (ეკვივალენტურ) განტოლებებს/უტოლობებს შორის კანონზომიერების აღმოჩენა, აღწერა/დასაბუთება;

· განტოლების, უტოლობის ამოხსნა სხვადასხვა სტრატეგიების, ალგორითმების გამოყენებით და ამოხსნის სტრატეგიების შეფასება;

· რეალური სიტუაციის შესაბამისი განტოლების, უტოლობის ამონახსნთა შეფასება მოცემულ კონტექსტში და პრობლემის გადაჭრა;

· სიდიდეებს შორის დამოკიდებულების აღმწერი ფუნქციის ტიპებს შორის განსხვავებებზე ლოგიკური, არგუმენტირებული მსჯელობა;

· სიმრავლეთა ოპერაციების (გაერთიანება, თანაკვეთა, დამატება და სხვა) დაკავშირება ლოგიკურ ოპერაციებთან (ან, და , არა);

გეომეტრია და გაზომვა

· გეომეტრიულ ობიექტებთან მიმართებაში მათემატიკური ტერმინების, აღნიშვნებისა და სიმბოლოების კორექტულად გამოყენება;

· გეომეტრიულ მოდელებთან მიმართებაში ჭეშმარიტი და მცდარი გამონათქვამების გარჩევა; ჭეშმარიტი დებულების შემჩნევა/აღმოჩენა და დასაბუთება;

· გეომეტრიული ფიგურების და მათი ელემენტების კლასიფიკაცია საკლასიფიკაციო სქემების გამოყენებით; (მაგალითად ვენის დიაგრამა, ხისებრი დიაგრამა და სხვა);

· გეომეტრიულ ფიგურებსა და მათ ელემენტებს შორის კავშირების დამყარება, წარმოდგენა, ფორმულირება და დასაბუთება.

· გეომეტრიულ დებულებათა დასაბუთება ალგებრული გარდაქმნების, ტოლობის და უტოლობების თვისებების საშუალებით;

· მართებული მსჯელობითა და არგუმენტებით ახალი კანონზომიერებების აღმოჩენა და ფორმულირება, თეორემის დასაბუთება/დამტკიცება;

· გეომეტრიული გარდაქმნებისას კანონზომიერებების აღმოჩენა, მათი გამოყენება ფიგურათა თვისებების დასადგენად და მსჯელობა/დასაბუთებით პრობლემის გადაჭრა;

· რთული გეომეტრიული პრობლემის მარტივ შემადგენელ ნაწილებად დაშლა და პრობლემის გადაჭრა.

სტატისტიკა და ალბათობა

· სტატისტიკის ტერმინების, აღნიშვნებისა და სიმბოლოების კორექტულად გამოყენება;

· მონაცემებთან და მათ სტატისტიკურ მოდელებთან მიმართებაში ჭეშმარიტი და მცდარი გამონათქვამების გარჩევა, დასაბუთება;

· სტატისტიკურ მონაცემებში არსებული კანონზომიერებების აღწერა, დასაბუთება, ფორმულირება/ახსნა და განზოგადება;

· ლოგიკური მსჯელობით, შესაბამისი ცნებების გამოყენებით ინფორმაციის ანალიზი და ანალიზის შედეგად ლოგიკური დასკვნის გაკეთება;

· ვარაუდის გამოთქმა ხდომილობის მოხდენის შესახებ, მათი დადასტურება ან დასაბუთებული უარყოფა;

· ხდომილობათა ალბათობის, ალბათობის თვისებების და ვარიანტის დათვლის ხერხების ახსნა, დასაბუთება, გამოყენება.

· მონაცემების განაწილება დიაგრამის, გრაფიკის გამოყენებით და მსჯელობა, თუ როგორ არის მონაცემები განაწილები;

· მონაცემთა ანალიზი და საკვლევ კითხვაზე არგუმენტირებული პასუხის გაცემა; ინფორმირებული გადაწყვეტილების მიღება.

სამიზნე ცნება "ლოგიკა/ლოგიკური მსჯელობა" - ლოგიკის/ლოგიკური მსჯელობის მეშვეობით შეგვიძლია აზრების თანმიმდევრული და ცხადი გადმოცემა მათემატიკური ენის, (ტერმინების, აღნიშვნებისა და სიმბოლოების) გამოყენებით. ლოგიკური მსჯელობით და შესაბამისი ტერმინების გამოყენებით ხდება აზრის, დებულების, გამონათქვამის დასაბუთება/უარყოფა; ლოგიკური ცხრილებისა და საკლასიფიკაციო სქემების გამოყენებით შესაძლებელია: რიცხვებში, ალგებრულ და გეომეტრიულ ობიექტებში, მონაცემებში კანონზომიერებების, საერთო ნიშან-თვისებების აღმოჩენა, დასაბუთება და განზოგადება; სხვადასხვა საკლასიფიკაციო სქემების, ალგორითმების შემუშავება, გამოყენება.

ლოგიკის მეშვეობით ასევე შესაძლებელია რეალურ ცხოვრებაში სხვადასხვა მოვლენების შესწავლისა და ანალიზის დროს მიზეზშედეგობრივი კავშირის დადგენა, ვარაუდის გამოთქმა, არგუმენტების მოტანა, მსჯელობის ხაზის განვითარება და დასკვნის გამოტანა;

ლოგიკური მსჯელობის პროცესი მოიცავს: კანონზომიერებების აღმოჩენას; რაოდენობრივ და აბსტრაქტულ მსჯელობას; ჰიპოთეზების ჩამოყალიბებას, მათი მართებულობის დასაბუთებას ან უარყოფას; წესების, ალგორითმების შემუშავებას; მსჯელობის ხაზის განვითარებას; მათემატიკური არგუმენტების და მტკიცებულებების წარმოდგენას, განზოგადება/დაკონკრეტებას; ინდუქციური/დედუქციური მსჯელობით მიღებული დასკვნების დასაბუთებას ან უარყოფას.

ლოგიკური მსჯელობა გამოიყენება მათემატიკაში, კომპიუტერულ მეცნიერებაში, ენათმეცნიერებაში, საბუნებისმეტყველო და სოციალურ მეცნიერებებში, ყოველდღიურ ცხოვრებში.

თემები/თემატური ბლოკები მიმართლებების მიხედვით - VII-X კლასის შინაარსი

(1) რიცხვები და მოქმედებები;

(2) ალგებრა;

(3) გეომეტრია და გაზომვა

(4) სტატისტიკა და ალბათობა;

თემა/თემატური ბლოკი (1). რიცხვები და მოქმედებები;

თავი / დიდი საკითხი

დაზუსტება:

1. რიცხვები, მოქმედებები რიცხვებზე და მათი თვისებები

რიცხვები

· ნატურალური რიცხვები;

· მთელი რიცხვები;

· რაციონალური რიცხვები (რაციონალური რიცხვების წარმოდგენა წილადებისა და ათწილადების სახით (მათ შორის, უსასრულო პერიოდული ათწილადის სახით).

· ირაციონალური რიცხვები ( -ის ირაციონალობა, პი რიცხვი).

· პერიოდული და არაპერიოდული ათწილადები;

· ნამდვილი რიცხვები;

· რიცხვითი ღერძი, რიცხვითი შუალედი;

· რიცხვების წარმოდგენა რიცხვით ღერძზე, შედარება; რიცხვების დამრგვალება;

· რიცხვის ჩაწერა პოზიციურ სისტემაში სხვადასხვა ფუძით;

· რიცხვის ჩაწერა არაპოზიციურ სისტემაში;

· რიცხვის ჩაწერის სტანდარტული ფორმა;

· რიცხვის წარმოდგენა სხვადასხვა ფორმით და კავშირი მათ შორის;

· რიცხვის მოდული; მოდულის ძირითადი თვისებები და გეომეტრიული აზრი;

მოქმედებები რიცხვებზე

· არითმეტიკული მოქმედებები რიცხვებზე, არითმეტიკულ მოქმედებათა თვისებები;

· რიცხვითი გამოსახულების მნიშვნელობა, მოქმედებათა თანმიმდევრობა;

· მიახლოებითი გამოთვლები; არითმეტიკული მოქმედებების შედეგის შეფასება.

· რიცხვის წარმოდგენა სხვადასხვა ფორმით და კავშირი მათ შორის;

· რიცხვითი ტოლობის და უტოლობის თვისებები;

ხარისხი, ფესვი, მოქმედებათა თვისებები

· მთელმაჩვენებლიანი ხარისხი და მისი თვისებები;

· რაციონალურ მაჩვენებლიანი ხარისხი და მისი თვისებები;

· ური ხარისხის ფესვი, არითმეტიკული ფესვი (კვადრატული და კუბური)არითმეტიკული ფესვის თვისებები;

· ხარისხის, ფესვის შემცველი რიცხვითი გამოსახულება

2. შეფარდება, პროპორცია, პროცენტი

პროპორცია

· პროპორციის ძირითადი თვისება;

· რიცხვის დაყოფა პროპორციულ ნაწილებად.

· სკალა, მასშტაბი;

· რიცხვებს შორის პირდაპირპროპროციული და უკუპროპორციული დამოკიდებულება;

პროცენტი, ფინანსური მათემატიკის ელემენტები

· რიცხვის პროცენტის პოვნა;

· რიცხვის პოვნა მისი პროცენტით ან ნაწილით.

· ორი რიცხვის ფარდობის პროცენტით გამოსახვა;

· სიდიდის ცვლილების გამოსახვა პროცენტებში (პროცენტული ცვლილება);

· დარიცხვის მარტივი და რთული პროცენტი -ცნება; (

· რეალური კონტექსტის თემები: ბიუჯეტირება, გადასახადები, დღგ და ა.შ.

თემა/თემატური ბლოკი (2). ალგებრა

1. ალგებრული გამოსახულება

ალგებრული გამოსახულება, ალგებრული გამოსახულება და მათი თვისებები

· ცვლადი, უცნობი სიდიდე, ფორმულა; ალგებრული გამოსახულება და მისი რიცხვითი მნიშვნელობების გამოთვლა; იგივურად ტოლი გამოსახულებები;

· მრავალწევრი, მოქმედებები მრავალწევრებზე (შეკრება, გამოკლება); მრავალწევრის გამრავლება მრავალწევრზე, მრავალწევრის გაყოფა ერთწევრზე (ასევე, საერთო მამრავლის გატანა ფრჩხილებს გარეთ);

· იგივურად ტოლი მრავალწევრები;

· ორწევრის ორწევრზე გამრავლება; შემოკლებული გამრავლების ფორმულები;

· კვადრატული სამწევრი, კვადრატული სამწევრის წარმოდგენა ნამრავლად;

· კვადრატული სამწევრიდან სრული კვადრატის გამოყოფა;

· ალგებრული წილადი; წილადის ძირითადი თვისება;

· მოქმედებები ალგებრულ წილადებზე (მარტივი ალგებრული წილადების შეკრება, გამოკლება, შეკვეცა).

2. განტოლება, უტოლობა, სისტემა

განტოლება

· წრფივი ერთუცნობიანი განტოლება;

· კვადრატული განტოლება; დისკრიმინანტი; ვიეტას თეორემა;

· მოდულის შემცველი განტოლება (მარტივი ფორმით);

· რაციონალური განტოლება (რაციონალური განტოლება, რომელიც უმარტივეს ფორმამდე დაიყვანება);

· ტოლფასი (ეკვივალენტური) განტოლებები;

· წრფივი ორუცნობიანი განტოლება;

უტოლობა

· ერთუცნობიანი წრფივი და კვადრატული უტოლობა; ტოლფასი უტოლობები.

· უტოლობისა და უტოლობათა სისტემის ამონახსნისა და ამონახსნთა სიმრავლის ცნებები.

· მოდულის შემცველი წრფივი უტოლობა (მარტივი ფორმით);

სისტემა

· წრფივი ორუცნობიანი განტოლებათა სისტემა;

· წრფივ ორუცნობიან განტოლებათა სისტემის ამოხსნა: გრაფიკულად, ჩასმის მეთოდით, შეკრების მეთოდით;

· კვადრატულ განტოლებათა სისტემა (ერთი განტოლება წრფივია, მეორე კვადრატული);

· ორუცნობიანი წრფივი უტოლობათა სისტემის ამონახსნის წარმოდგენა საკოორდინატო სიბრტყეზე.

მითითება: რეკომენდირებული სირთულის დონე

; ; ; ; ; ;

3. სიმრავლეთა თეორია, ლოგიკის ელემენტები

სიმრავლეები

· სიმრავლე, სიმრავლის ელემენტი; ცარიელი სიმრავლე, სასრული და უსასრულო სიმრავლეები; რიცხვითი სიმრავლეები;

· სიმრავლის მოცემის ხერხები; ქვესიმრავლე, უნივერსალური სიმრავლე;

· ვენის დიაგრამა; ამოცანების ამოხსნა ვენის დიაგრამის მეშვეობით;

· მოქმედებები სიმრავლეებზე: თანაკვეთა, გაერთიანება, გამოკლება, ქვესიმრავლის დამატება;

· სიმრავლეებზე მოქმედებათა თვისებები;

ლოგიკის ელემენტები

· ცნება და ცნებათა შორის ლოგიკური მიმართებები;

· ტერმინი, ცნების განსაზღვრება/განმარტება;

· გამონათქვამი და ლოგიკური კავშირები მათზე;

· აუცილებელი პირობა, საკმარისი პირობა, აუცილებელი და საკმარისი პირობა;

· დებულებათა დასაბუთების ხერხები. კონტრმაგალითი;

4. შესაბამისობა, ფუნქცია

ფუნქცია, ფუნქციის გრაფიკი

· შესაბამისობა ორი სიმრავლის ელემენტებს შორის;

· ფუნქცია, განსაზღვრის სიმრავლე, მნიშვნელობათა სიმრავლე; დამოუკიდებელი და დამოკიდებული ცვლადები; ფუნქციის მოცემის ხერხები; ღერძებთან გადაკვეთის წერტილი კოორდინატები; ვერტიკალური წრფის ტესტი;

· რიცხვითი ფუნქცია;

· ფუნქციის გრაფიკი, ფუნქციის თვისებების დადგენა გრაფიკის მეშვეობით: ფუნქციის ნულები (ღერძებთან გადაკვეთის წერტილის კოორდინატები), უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა, ფუნქციის ზრდადობა-კლებადობის შუალედი; ფუნქციის ნიშანმუდმივობა, ნიშანმუდმივობის შუალედები;

სიდიდეებს შორის დამოკიდებულება

· ორი სიდიდის შეფარდება; სიდიდის ცვლილების სიჩქარე;

· პირდაპირპროპორციული დამოკიდებულება;

· უკუპროპორციული დამოკიდებულება;

· პირდაპირი და უკუპროპორციული დამოკიდებულების წარმოდგენა: სიტყვიერად, ცხრილით, გრაფიკით, ფორმულით;

წრფივი ფუნქცია

· წრფივი ფუნქცია;

· წრფის განტოლება დახრილობის საშუალებით: ;

· წრფივი ფუნქციის განსაზღვრის სიმრავლე და მნიშვნელობათა სიმრავლე, გრაფიკი და თვისებები, ღერძებთან გადაკვეთის წერტილის კოორდინატები;

· პარალელური და მართობული წრფეების განტოლებები.

· წრფივი ფუნქციის გამოყენება (მოძრაობის აღწერა);

კონტექსტ მაგალითი: წრფივი თანაბარი, ასევე თანაბარაჩქარებული მოძრაობის აღწერა

კვადრატული ფუნქცია

· კვადრატული ფუნქცია; კვადრატული ფუნქციის განსაზღვრის სიმრავლე, მნიშვნელობათა სიმრავლე, გრაფიკი და თვისებები, გრაფიკის გარდაქმნა, წვეროს კოორდინატები, ღერძებთან გადაკვეთის წერტილის კოორდინატები;

კონტექსტ მაგალითები რეალური ცხოვრებიდან.

· კვადრატული ფუნქციის წარმოდგენა სხვადასხვა ფორმით:

)

5. მიმდევრობა

· რიცხვითი მიმდევრობები; მიმდევრობის ზოგადი წევრის მოცემა ფორმულით (ანალიზურად)

· რეკურენტული წესით მოცემული რიცხვითი მიმდევრობები - არითმეტიკული და გეომეტრიული პროგრესიები.

· არითმეტიკული პროგრესიის -ური წევრისა და პირველი წევრის ჯამის გამოსათვლელი ფორმულები;

· გეომეტრიული პროგრესიის -ური წევრისა და პირველი წევრის ჯამის გამოსათვლელი ფორმულები;

თემა/თემატური ბლოკი (3) გეომეტრია და გაზომვა

1. ბრტყელი გეომეტრიული ფიგურები და მათი თვისებები

კუთხეები, კუთხეების კლასიფიკაცია

· მართი, მახვილი, ბლაგვი, გაშლილი და სრული კუთხეები;

· წრფეთა პარალელურობის თვისებები და ნიშნები;

· მოსაზღვრე, ვერტიკალური, შიგაჯვარედინი, შიგაცალმხრივად მდებარე კუთხეები;

· კუთხის ბისექტრისა; მონაკვეთის შუამართობი;

· კუთხე ორ წრფეს შორის. წრფეთა მართობულობა. მართობი, დახრილი და გეგმილი. მანძილი წერტილიდან წრფემდე.

მრავალკუთხედები

· მრავალკუთხედი და მისი ელემენტები: გვერდი, წვერო, კუთხე, დიაგონალი. მრავალკუთხედის პერიმეტრი.

· წესიერი მრავალკუთხედი, ამოზნექილი მრავალკუთხედის შიგა კუთხეების ჯამი;

სამკუთხედები, დამოკიდებულებები სამკუთხედებში

· სამკუთხედი და მისი ელემენტები: გვერდი, კუთხე, წვერო, მედიანა, ბისექტრისა, სიმაღლე. სამკუთხედის შუახაზი;

· სამკუთხედის გარე კუთხე;

· სამკუთხედის უტოლობა; დამოკიდებულება სამკუთხედის გვერდებსა და კუთხეებს შორის;

· სამკუთხედების კლასიფიკაცია გვერდებისა და კუთხეების მიხედვით; ტოლფერდა სამკუთხედის თვისებები;

· სამკუთხედების ტოლობა (კონგრუენტულობამდე სიზუსტით), სამკუთხედების ტოლობის ნიშნები;

· სამკუთხედების მსგავსება; მსგავსების კოეფიციენტი;

· მსგავსი სამკუთხედების პერიმეტრების და ფართობების შეფარდება;

· დამოკიდებულებები მართკუთხა სამკუთხედის ელემენტებს შორის; სამკუთხედის ამოხსნა;

· პითაგორას თეორემა;

ტრიგონომეტრიული თანაფარდობები

· ტრიგონომეტრიული თანაფარდობები მართკუთხა სამკუთხედში;

· ერთეულოვანი წრეწირი და ტრიგონომეტრიული თანაფარდობები ( ); სინუსის, კოსინუსის და ტანგენსის:მნიშვნელობები არგუმენტებისთვის; ნიშნები მეოთხედების მიხედვით;

· სინუსების და კოსინუსების თეორემები;

ოთხკუთხედები, დამოკიდებულებები ოთხკუთხედებში

· ოთხკუთხედები, ოთხკუთხედების კლასიფიკაცია;

ü პარალელოგრამი, პარალელოგრამის თვისებები და ნიშნები;

ü რომბი, რომბის დიაგონალების თვისება; მართკუთხედი, კვადრატი;

ü ტრაპეცია, ტრაპეცია და მისი ელემენტები: ფუძე, ფერდი, სიმაღლე. ტრაპეციის შუახაზი. ტრაპეციის კერძო სახეები: ტოლფერდა ტრაპეცია, მართკუთხა ტრაპეცია; ტოლფერდა ტრაპეციის თვისებები;

წრე, წრეწირი და წრის ნაწილები

· წრეწირი, წრე და მათი ელემენტები: ცენტრი, რადიუსი, დიამეტრი, ქორდა, რკალი, სექტორი, სეგმენტი.

· რკალის გრადუსული, რადიანული ზომა, რიცხვი . წრეწირის და მისი რკალის სიგრძის გამოსათვლელი ფორმულები.

· ქორდის მართობული დიამეტრის თვისება.

· წრეწირის მხები და მკვეთი.

· ცენტრალური და ჩახაზული კუთხეები; მხებით და ქორდით შედგენილი კუთხე; კუთხე წვეროთი წრეწირის შიგნით და წრეწირის გარეთ, რომლის გვერდები კვეთს წრეწირს.

· გეომეტრიული ადგილის ცნება და მისი გამოყენება;

· სამკუთხედში ჩახაზული და სამკუთხედზე შემოხაზული წრეწირები. ოთხკუთხედზე შემოხაზული და ჩახაზული წრეწირები;

· აგების ამოცანები;

2. სივრცული ფიგურები და მათი თვისებები

სივრცული ფიგურები და მათი ელემენტები

· მრავალწახნაგა სხეულები და მათი ელემენტები;

· პრიზმა და მისი ელემენტები (ფუძე, გვერდითი წახნაგი, გვერდითი წიბო, სიმაღლე, დიაგონალი).

· პრიზმის კერძო სახეები: მართი პრიზმა, მართკუთხა პარალელეპიპედი, კუბი;

· პირამიდა და მისი ელემენტები (წვერო, გვერდითი წიბო, ფუძე, გვერდითი წახნაგი, სიმაღლე). წესიერი პირამიდა, აპოთემა:

· ბრუნვითი სხეულები და მათი ელემენტები:

ü ცილინდრი და მისი ელემენტები (რადიუსი, მსახველი, ფუძეები, სიმაღლე, ცილინდრის ღერძი). ცილინდრის ღერძული კვეთა.

ü კონუსი და მისი ელემენტები (წვერო, ფუძე, მსახველი, სიმაღლე). კონუსის ღერძული კვეთა და ფუძის პარალელური კვეთა.

ü ბირთვი, სფერო და მათი ელემენტები (ცენტრი, რადიუსი, დიამეტრი).

სივრცული ფიგურები, შლილები

· სივრცული ფიგურების ზედაპირის შლილები (ასევე ხედები);

3. გაზომვა - ფართობი, მოცულობა

ფართობი, მოცულობა

· მრავალკუთხედების ფართობი და ფართობის გამოსათვლელი ფორმულები;

· წრის ფართობი და ფართობის გამოსათვლელი ფორმულა; სექტორის და სეგმენტის ფართობი;

· მსგავს ფიგურათა ფართობები;

· სივრცული ფიგურების ზედაპირის ფართობი;

· სივრცული ფიგურების მოცულობა და მოცულობის გამოსათვლელი ფორმულები (განსახილველი ფიგურები: კუბი, მართკუთხა პარალელეპიპედი, პრიზმა, მართი პირამიდა, ცილინდრი, კონუსი, ბირთვი);

· ზომის ერთეულებს შორის შესაბამისობა;

4. ანალიზური გეომეტრია

ანალიზური გეომეტრიის ელემენტები საკოორდინატო სიბრტყეზე

· მართკუთხა (დეკარტეს) კოორდინატთა სისტემა სიბრტყეზე;

· ორ წერტილზე გამავალი წრფის დახრილობის გამოსახვა ამ წერტილთა კოორდინატების საშუალებით.

· წრფის ზოგადი განტოლება: ; ორ წერტილზე გამავალი წრფის განტოლება;

· მონაკვეთის შუა წერტილის კოორდინატები;

· საკოორდინატო სიბრტყეზე ორ წერტილს შორის მანძილის გამოთვლა;

გეომეტრიული გარდაქმნები სიბრტყეზე

· ცენტრული სიმეტრია. სიმეტრიის ცენტრი. ფიგურის სიმეტრიულობა წერტილის მიმართ.

· ღერძული სიმეტრია. სიმეტრიის ღერძი. ფიგურის სიმეტრიულობა ღერძის მიმართ.

· პარალელური გადატანა. ჰომოთეტია. მობრუნება წერტილის გარშემო.

· გარდაქმნების კომპოზიცია;

· გარდაქმნები კოორდინატებში (მარტივი შემთხვევები);

ვექტორები სიბრტყეზე, ოპერაციები ვექტორებზე

· ვექტორი, ვექტორის კოორდინატები;

· მოქმედებები ვექტორებზე გეომეტრიულად და კოორდინატებში: რიცხვზე (სკალარზე) გამრავლება, შეკრება, სხვაობა;

· ვექტორის დაშლა კომპონენტების მიხედვით (მიმართულებების მიხედვით); ვექტორთა სკალარული ნამრავლის განმარტება და გამოსახვა კოორდინატებში.

თემა/თემატური ბლოკი (4) სტატისტიკა და ალბათობა

1. მონაცემები, მონაცემთა ანალიზი

· მონაცემთა ტიპები: რაოდენობრივი და თვისებრივი; დისკრეტული და უწყვეტი;

· მონაცემთა წარმოდგენის საშუალებანი რაოდენობრივი და თვისებრივი მონაცემებისთვის: სია, ცხრილი, პიქტოგრამა, ჰისტოგრამა, წერტილოვანი, ხაზოვანი, სვეტოვანი, წრიული დიაგრამები, ფოთლებიანი ღეროების მსგავსი დიაგრამა;

· დაჯგუფებულ და დაუჯგუფებელ მონაცემთა სიხშირული ცხრილები;

· დაგროვილ სიხშირეთა ცხრილები (გრაფიკი);

· ცენტრალური ტენდენციის საზომები (საშუალო, მედიანა, მოდა), მათი ინტერპრეტაცია (დაჯგუფებული და დაუჯგუფებული მონაცემებისათვის);

· მონაცემთა გაფანტულობის საზომი - გაბნევის დიაპაზონი;

· ვარიაციული მწკრივის ცნება;

· გაბნევის დიაგრამა და კორელაცია;

· საუკეთესო მისადაგების წრფე;

· გამოკითხვა და მასთან დაკავშირებული სტატისტიკა;

2. ხდომილობა, ხდომილობის ალბათობა

ხდომილობა, ექსპერიმენტი, ალბათობა

· შემთხვევითი ექსპერიმენტი/ცდა (მაგ.: მონეტა, ურნა, კამათელი, ბზრიალა მოდელების გამოყენებით);

· ელემენტარული ხდომილობა; ელემენტარულ ხდომილობათა სივრცე; ხდომილობა (შემთხვევითი ხდომილობა); აუცილებელი და შეუძლებელი ხდომილობები; დამოუკიდებელი ხდომილობები; პირობითი ალბათობა;

· მოქმედებები ხდომილობებზე: ხდომილობათა ჯამი და ნამრავლი; ხდომილობის საწინააღმდეგო ხდომილობა;

· ალბათობა (თეორიული და ექსპერიმენტალური) და ალბათობის გამოსათვლელი სქემები (ხისებრივი დიაგრამა; ორგანზომილებიანი ბადე; ცხრილი);

· გეომეტრიული ალბათობა;

3. კომბინატორიკა

· ვარიანტების დათვლის ნამრავლის და ჯამის წესი;

· ვარიანტების დათვლის ხერხები: გადანაცვლებათა რაოდენობა, ჯუფთებათა რაოდენობა, წყობათა რაოდენობა;

· ვარიანტების დათვლის ხერხების გამოყენება შემთხვევითი ექსპერიმენტის შედეგების დასათვლელად.

მათემატიკა - საშუალო საფეხური ( XI-XII კლასები)

სწავლის შედეგები

მსჯელობა" ურთიერთდაკავშირებული გააზრება.

სწავლის შედეგი - მოსწავლემ უნდა შეძლოს:

შეფასების ინდიკატორი - მოსწავლეს შეუძლია

სამიზნე ცნების მოცულობა /აღწერა - მოსწავლე აცნობიერებს, რომ:

(1) საკვლევი ობიექტის, პროცესის, სიტუაციის, მოვლენის აღმწერი მათემატიკური მოდელის შექმნა, აგება და მისი გამოყენება კომპლექსური პრობლემის გადასაჭრელად. ციფრული ტექნოლოგიების გამოყენებით ზუსტი და მიახლოებითი გამოთვლების შესრულება, მიღებული შედეგების შეფასება და მოდელის გაუმჯობესება პრობლემის კონტექსტში, მოვლენის ანალიზისა და შესწავლისთვის;

რიცხვები

· რეალური მოვლენის, სიტუაციის, პროცესის მოდელირება რიცხვის ხარისხის, ლოგარითმული რიცხვის მეშვეობით;

· რიცხვითი სიმრავლეების, რიცხვითი გამოსახულების მეშვეობით, რეალური პრობლემის გადაჭრა;

ალგებრა

· რეალური მოვლენის, სიტუაციის, პროცესის შესაბამისი მათემატიკური მოდელის (წრფივი და კვადრატული ფუნქციის, ტრიგონომეტრიული განტოლების და ფუნქციის, ლოგარითმული და მაჩვენებლიანი განტოლების/ფუნქციის) შექმნა, შერჩევა და პრობლემის გადაჭრა;

· რიცხვითი მიმდევრობის, არითმეტიკული ან გეომეტრიული პროგრესიის მეშვეობით საბუნებისმეტყველო მეცნიერებასთან დაკავშირებული პრობლემის გადაჭრა;

· იტერაციის, რეკურსიის და მათემატიკური ინდუქციის გამოყენება მოდელირებისას.

გეომეტრია

· გეომეტრიული მოდელების საშუალებით რეალური სიტუაციის შესაბამისი მათემატიკური მოდელის შედგენა და პრობლემის გადაჭრა;

· გეომეტრიული ობიექტების ადგილმდებარეობის გარკვევა სიბრტყეზე და სივრცეში კოორდინატების გამოყენებით;

· გეომეტრიული გარდაქმნების საშუალებით რეალური მოვლენის მოდელირება ტექნოლოგიების გამოყენებით;

· რეალური ვითარების ოპტიმიზაციის ზოგიერთი პრობლემის გადასაჭრელად სივრცული ფიგურის ზომებს შორის ფუნქციური დამოკიდებულებით მოდელირება.

მონაცემთა ანალიზი, ალბათობა და სტატისტიკა

· საკვლევი თემის განსაზღვრა, კვლევის დაგეგმვა, მონაცემების შეგროვება, მოწესრიგება, წარმოდგენა სხვადასხვა მოდელის გამოყენებით.

· შემთხვევითი მოვლენის შესაბამისი ალბათური მოდელის შედგენა და მისი გამოყენება შემთხვევითი მოვლენის აღწერისას.

მათემატიკური მოდელი აღწერს ჩვენ გარშემო მიმდინარე რეალურ მოვლენას, პროცესს, შესასწავლ ობიექტს მათემატიკური სიმბოლოებისა და ენის გამოყენებით. მათემატიკური მოდელირებისას მნიშვნელოვანია უცნობი რაოდენობების, სიდიდეების ერთმანეთთან დაკავშირება და სხვადასხვა ფორმით წარმოდგენა. მათემატიკური მოდელი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს: რიცხვითი და ალგებრული გამოსახულებების, წრფივი, კვადრატული, ტრიგონომეტრიული, მაჩვენებლიანი, ლოგარითმული, რაციონალური, განტოლებების და ფუნქციის, გეომეტრიული ფიგურების, ცხრილების, დიაგრამების, გრაფიკის, ასევე ჩამოთვლილთა ერთობლიობის სახით.

რეალური მოვლენის მათემატიკური მოდელირების პროცესი მოიცავს: პრობლემის გააზრებას, შესაბამისი მათემატიკური მოდელის შექმნას ან შერჩევას, ამოხსნის ალგორითმის შემუშავებას (ამოხსნისთვის კონკრეტული მეთოდებისა და სტრატეგიების არჩევას), ამონახსნის მიღებას, შედეგების ინტერპრეტაციას რეალურ კონტექსტში, მოდელის გადახედვასა და გაუმჯობესებას, რაც მოდელს მეტად ზუსტს და ეფექტურს გახდის.

მათემატიკა STEAM განათლების საფუძველია.

2) რიცხვებში, ალგებრულ ობიექტებში, მონაცემებში, გეომეტრიულ ფიგურებსა და მის ელემენტებში მიმართებების, დამოკიდებულებების (მათ შორის ფუნქციური დამოკიდებულებების) და კანონზომიერებების აღმოჩენა, აღწერა, გაგრძელება, მათემატიკური მოდელის შექმნა და გამოყენება მათემატიკური, საბუნებისმეტყველო ან ყოველდღიური მოვლენების გასააზრებლად, პროგნოზირებისა და პრობლემის გადასაჭრელად.

რიცხვები

· რიცხვითი გამოსახულების გამოთვლა ხარისხის თვისებების, ლოგარითმის თვისებების, მოქმედებათა თანმიმდევრობისა და მათ შორის კავშირების/კანონზომიერების გამოყენებით;

· არითმეტიკული მოქმედებების შესრულება სხვადასხვა სახით მოცემულ კომპლექსურ რიცხვებზე და მათი ინტერპრეტაცია გამოსახვის ფორმის მიხედვით.

ალგებრა

· ალგებრული ოპერაციების, მათი თვისებების გამოყენება; ალგებრულ გამოსახულებათა შორის კანონზომიერების აღმოჩენა და კავშირის დამყარება;

· სიმრავლეთა შორის (რიცხვით სიმრავლეებს შორის) მიმართებების დადგენა, მათ შორის კანონზომიერების შემჩნევა;

· ფუნქციის თვისებების (მაგალითად: ზრდადობა, კლებადობა, მუდმივობა, ფუნქციის მაქსიმუმი/მინიმუმი) გამოკვლევა და ფუნქციებისა და მათი თვისებების გამოყენება ორ სიდიდეს შორის დამოკიდებულების შესასწავლად;

· სიდიდეებს შორის დამოკიდებულების/კანონზომიერების აღმწერი ფუნქციის ტიპის ამოცნობა: წრფივი, კვადრატული, ლოგარითმული, მაჩვენებლიანი, ტრიგონომეტრიული და სხვა.

· მიმდევრობის თვისებების გამოკვლევა და მიმდევრობების და მათი თვისებების გამოყენება კანონზომიერების შესასწავლად და აღსაწერად;

· ფუნქციათა გრაფიკების გარდაქმნა გეომეტრიული გარდაქმნების გამოყენებით, შესაბამისი კანონზომიერების აღმოჩენა, ფორმულირება;

· ალგებრული მეთოდებისა და ტექნოლოგიების გამოყენება ფუნქციის/ფუნქციათა ოჯახის თვისებების შესასწავლად. ამ თვისებების ინტერპრეტირება კონტექსტთან მიმართებაში.

გეომეტრია

· გეომეტრიულ ფიგურათა ზომების გამოთვლა; ზომებს შორის კანონზომიერების დადგენა და პრობლემის გადაჭრა;

· გეომეტრიული გარდაქმნებისას კანონზომიერების აღმოჩენა და თვისებების ჩამოყალიბება.

· ვექტორებზე ოპერაციების შესრულება და მათი თვისებების გამოყენება გეომეტრიული და საბუნებისმეტყველო პრობლემების გადაჭრისას.

მონაცემთა ანალიზი, ალბათობა და სტატისტიკა

· ალბათობის თვისებების გამოყენება შემთხვევით მოვლენასთან დაკავშირებული ამოცანის ამოხსნისას.

კანონზომიერება გამოხატავს ობიექტების, მოვლენების მოწესრიგებულ ურთიერთმიმართებებს (დამოკიდებულებებს); კანონზომიერება ვლინდება რიცხვებში, ალგებრულ და გეომეტრიულ ობიექტებში, მონაცემებში. კანონზომიერება შეიძლება იქნას წარმოდგენილი სიტყვიერად, გრაფიკულად, სიმბოლოების, ცხრილის და მათემატიკური მოდელების გამოყენებით. მათემატიკური კანონზომიერების აღმოჩენა, აღწერა და შესწავლა შესაძლებელია ისეთ მათემატიკურ ობიექტებსა და მათ თვისებებში, როგორებიცაა რიცხვები, მიმდევრობა, ხარისხი და ხარისხის თვისებები, გეომეტრიული ობიექტების, ალგებრული (განტოლება, უტოლობა, ალგებრული გამოსახულება, ფუნქცია) და სტატისტიკური ობიექტები, ალბათური მოდელები. სამყაროში არსებული კანონზომიერების ჩაწერა, აღწერა შესაძლებელია მათემატიკის საშუალებით.

კანონზომიერების მათემატიკური აღწერით შესაძლებელია არა მხოლოდ არსებული მდგომარეობის ანალიზი, არამედ ახალი კანონზომიერებების დადგენა, აღმოჩენა და არსებული წესების შესწავლა. პრობლემის გადაჭრა.

კანონზომიერებების დადგენა და მათემატიკურ აღწერით ყალიბდება ეკონომიკურ მოდელები, რომელიც სწავლობს ბაზრის ცვალებადობას, მიკრო და ან მაკროეკონომიკური ფაქტორების ურთიერთმიმართების დადგენას და სხვა.

(3). ლოგიკური მსჯელობა, შესაბამისი სიმბოლოებისა და ტერმინების გამოყენება, მათემატიკური ობიექტების, მათი თვისებების და მათ შორის მიმართებების დასაბუთებისა და ახსნისთვის; რეალური მოვლენის, მათემატიკური ობიექტების განხილვისას მიზეზ-შედეგობრივი კავშირების დადგენა ინდუქციური ან დედუქციური მსჯელობის გამოყენებით; ინფორმაციის ანალიზი და მიღებული დასკვნების ლოგიკური დასაბუთება. მსჯელობის პროცესის განვითარება, ალტერნატიული გზების მოძიება, მიღებული გადაწყვეტილებების სისწორისა და ეფექტიანობის შეფასება რეალური და მათემატიკური პრობლემის გადაჭრისთვის;

რიცხვები

· მათემატიკური მეთოდების ანდა ტექნოლოგიების საშუალებით ზუსტი ან მიახლოებითი გამოთვლების შესრულება; შედეგების შეფასება;

· რიცხვების თვისებების ან რიცხვით კანონზომიერებების შესახებ განზოგადოებით, ანალოგიით მიღებულ დასკვნების ან დებულებების (მათ შორის მათემატიკური ინდუქციის გამოყენებით) დასაბუთება.

ალგებრა

· სიდიდეებს შორის დამოკიდებულების აღმწერი ფუნქციის ტიპის ამოცნობა და დამოკიდებულებებს შორის განსხვავებებზე ლოგიკური, არგუმენტირებული მსჯელობა;

· ფუნქციის ან ფუნქციათა ოჯახის თვისებების კვლევა და დადგენა, ამ თვისებების ინტერპრეტირება კონტექსტთან მიმართებაში.

· ინდუქციური/დედუქციური მსჯელობით პრობლემის მოდელირება და გადაჭრა სხვადასხვა ალგორითმის მეშვეობით. მიღებული დასკვნების დასაბუთება ან უარყოფა;

· სიმრავლეთა თეორიაზე დაყრდნობით, ლოგიკური მსჯელობითა და დასაბუთებით, ამოცანის ფორმულირება და პრობლემის გადაჭრა.

· პრობლემის გადაჭრისას გამონათქვამებისა და მათზე ოპერაციების გამოყენებით, დებულების დასაბუთების პირდაპირი და არაპირდაპირი მეთოდების ფლობით, ლოგიკური დასკვნების გამოტანა.

· შესწავლილი ფუნქციების და მათი თვისებების გამოყენება მოდელირებისას და ოპტიმიზაციის პრობლემის გადაჭრისას;

· ფუნქციის ინტეგრალისა და მრუდწირული ფიგურის ფართობის ერთმანეთთან დაკავშირება.

გეომეტრია და გაზომვა

· გეომეტრიულ მოდელებთან მიმართებაში ჭეშმარიტი და მცდარი გამონათქვამების გარჩევა; ჭეშმარიტი დებულების შემჩნევა/აღმოჩენა და დასაბუთება.

· აქსიომებზე დაყრდნობით, მართებული მსჯელობით გეომეტრიულ ობიექტებს და ობიექტის ელემენტებს შორის არსებული კანონზომიერებების - დამოკიდებულებებისა და მიმართებების დასაბუთება; ფიგურათა თვისებების დადგენა და განზოგადება.

· დედუქციური/ინდუქციური მსჯელობის გამოყენება გეომეტრიულ დებულებათა დასამტკიცებლად.

· ფიგურების ან მათი ელემენტების ზომების პოვნა/შეფასება და მათი გამოყენება პრაქტიკული პრობლემების გადაჭრისას.

მონაცემთა ანალიზი, ალბათობა და სტატისტიკა

· მონაცემებთან და მათ სტატისტიკურ მოდელებთან მიმართებაში ჭეშმარიტი და მცდარი გამონათქვამების გარჩევა; ჭეშმარიტი დებულების შემჩნევა/აღმოჩენა და დასაბუთება.

· სტატისტიკურ მონაცემებში არსებული კანონზომიერებების შემჩნევა, აღწერა, დასაბუთება, ფორმულირება/ახსნა და განზოგადება;

· ხდომილობათა ალბათობის, ალბათობის თვისებების და ვარიანტების დათვლის ხერხების ახსნა, დასაბუთება;

· ვარაუდის გამოთქმა ხდომილობის მოსალოდნელობის შესახებ მონაცემთა საფუძველზე და ვარაუდის მართლზომიერების დასაბუთება.

· რეალურ მოვლენაზე დაკვირვების შედეგად ცდის/ექსპერიმენტის ჩატარებით ხდომილების ალბათობის (სტატისტიკური, თეორიული) შეფასება და შედეგების პროგნოზირება.

ლოგიკის/ლოგიკური მსჯელობის მეშვეობით შესაძლებელია აზრების თანმიმდევრული და ცხადი გადმოცემა მათემატიკური ენის (ტერმინების, აღნიშვნებისა და სიმბოლოების) გამოყენებით. ლოგიკური მსჯელობით და შესაბამისი ტერმინების გამოყენებით შესაძლებელია: აზრის, დებულების, გამონათქვამის დასაბუთება/უარყოფა; ლოგიკური ცხრილებისა და საკლასიფიკაციო სქემების გამოყენებით რიცხვებში, ალგებრულ და გეომეტრიულ ობიექტებში, მონაცემებში კანონზომიერებების, საერთო ნიშან-თვისებების აღმოჩენა, დასაბუთება და განზოგადება; სიდიდეებს შორის დამოკიდებულების აღმოჩენა, ახსნა;

რეალური სიტუაციის შესაბამისი მათემატიკური მოდელის წარმოდგენა და პროცესის ახსნა;

რეალურ ცხოვრებაში სხვადასხვა მოვლენის შესწავლისა და ანალიზის დროს ვარაუდის გამოთქმა, არგუმენტების/კონტრარგუმენტის მოყვანა, მსჯელობის ხაზის განვითარება და დასკვნის გაკეთება; ინდუქციური და დედუქციური მსჯელობა; პრობლემის გადაჭრისას აბსტრაქტული და რაოდენობრივი მსჯელობა.

მათემატიკური და ლოგიკური მსჯელობა გამოიყენება პირად, პროფესიულ სოციალურ და სამეცნიერო კონტექსტებში, კომპიუტერულ მეცნიერებაში.

ენის შესწავლისას, ყოველდღიურ ცხოვრებაში.

თემები/თემატური ბლოკები

(1) რიცხვები;

(2) ალგებრა;

(3) გეომეტრია;

(4) სტატისტიკა და ალბათობა;

თემა/ თემატური ბლოკი (1): რიცხვები
თემა	კლასიკური
1. რიცხვები, თვისებები და რიცხვითი გამოთვლები	რიცხვითი სიმრავლეები, მოქმედებები და თვისებები რიცხვითი სიმრავლეები ( . არითმეტიკული მოქმედებები რიცხვებზე და მოქმედებათა თვისებები; · ზუსტი და მიახლოებითი გამოთვლებისა და შეფასების ხერხები; · ნამდვილი რიცხვების შედარება/დალაგება. · პირდაპირპროპორციული და უკუპროპორციული დამოკიდებულება; · პროცენტი, პროცენტული ცვლილება ; · ფინანსური მათემატიკის საწყისები (მარტივი და რთული პროცენტის სხვადასხვა შემთხვევები და სხვა); · რიცხვების ჩაწერის სხვადასხვა ფორმას შორის კავშირის დამყარება; ხარისხი; n - ური ხარისხის ფესვი; · ნამდვილი რიცხვის ხარისხი (მთელმაჩვენებლიანი ხარისხი, რაციონალურმაჩვენებლიანი ხარისხი და თვისებები); · ნამდვილი რიცხვიდან n - ური ხარისხის ფესვი და თვისებები; არითმეტიკული ფესვი; · რიცხვის ხარისხი და რიცხვის ლოგარითმი; ლოგარითმის თვისებები (ნამრავლის, შეფარდების და ხარისხის ლოგარითმი); ლოგარითმში ფუძის შეცვლის ფორმულა. · ლოგარითმის მნიშვნელობის გამოთვლა ტექნოლოგიების გამოყენებით.
თემა/ თემატური ბლოკი (2): ალგებრა
1. ალგებრული გამოსახულება, განტოლება, უტოლობა, სისტემა	ალგებრული გამოსახულება და მისი თვისებები; · ერთწევრი და მრავალწევრები; მოქმედებები მრავალწევრებზე (იგივური გარდაქმნები); · შემოკლებული გამრავლების ფორმულები ( ორწევრის კვადრატი, ორწევრის კუბის გამოსათვლელი ფორმულა); · რაციონალური გამოსახულებები და მოქმედებები მათზე; · რაციონალური და ირაციონალური გამოსახულების გამარტივება; · კვადრატული სამწევრიდან სრული კვადრატის გამოყოფა; ალგებრული გამოსახულების დაშლა მამრავლებად; განტოლება, უტოლობა, სისტემა · წრფივი, კვადრატული (კვადრატულზე დაყვანადი), რაციონალური განტოლებები; · მოდულის შემცველი მარტივი განტოლება; · წრფივი და კვადრატული უტოლობები; · ორუცნობიან წრფივ და კვადრატულ განტოლებათა სისტემა; · წრფივ უტოლობათა სისტემა; წრფივი დაპროგრამების ამოცანები ( ორი ცვლადის შემთხვევა); · მაჩვენებლიანი და ლოგარითმული განტოლებები; · მაჩვენებლიანი და ლოგარითმული უტოლობები; · ტრიგონომეტრიული განტოლებები; ( ;
2. ფუნქცია	გრაფიკი, ფუნქცია და მისი თვისებები; · ასახვა; დამოუკიდებელი და დამოკიდებული ცვლადები; განსაზღვრის არე, მნიშვნელობათა სიმრავლე; · ფუნქცია და გრაფიკი; ფუნქციის მოცემის ხერხები; · ფუნქციის გამოკვლევა გრაფიკის საშუალებით. · პირდაპირპროპორციული და უკუპროპორციული ფუნქციათა გრაფიკები, წრფივი და კვადრატული, მოდულის შემცველი ფუნქციათა გრაფიკები; · ფუნქციის გარდაქმნა და მისი შესაბამისი გრაფიკები · ფუნქციების გრაფიკების აგება ტექნოლოგიების გამოყენებით ფუნქცია · წრფივი ფუნქცია, წრფივი ფუნქციის თვისებები; · - საკუთხო კოეფიციენტი; · კვადრატული ფუნქცია, კვადრატული ფუნქციის თვისებები; · პერიოდული მოვლენების აღმწერი ფუნქციების გრაფიკების განხილვა; ფუნქციის პერიოდულობა და პერიოდი; · ერთეულოვანი წრის ტრიგონომეტრია; ძირითადი ტრიგონომეტრიული იგივეობები; · ტრიგონომეტრიული ფუნქციები და მათი გრაფიკები განხილვა; ( · ფუნქციების გარდაქმნებით მიღებული გრაფიკები; · ტრიგონომეტრიული ფუნქციის: ამპლიტუდა, სიხშირე, უმცირესი პერიოდი; · მაჩვენებლიანი და ლოგარითმული ფუნქციები; გრაფიკების აგება; · ფუნქციები და მათი გრაფიკები განხილვა; გამოყენების არე: მოძრაობის აღწერა, ფუნქციის გამოყენების მაგალითები ფინანსებში, ეკონომიკაში, კლიმატის ცვლილებაში და სხვადასხვა რეალურ კონტექსტში;
3. მიმდევრობა	მიმდევრობა, მიმდევრობის ჯამი · მიმდევრობები; არითმეტიკული და გეომეტრიული პროგრესია; · არითმეტიკული და გეომეტრიული პროგრესიის n-ური წევრისა და n წევრის ჯამის გამოსათვლელი ფორმულები; · უსასრულოდ მცირე და უსასრულოდ დიდი მიმდევრობები. (მიმდევრობის ზღვარი); უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ჯამის ფორმულა;
თემა/ თემატური ბლოკი (3): გეომეტრია
1. გეომეტრიული ობიექტები და ზომები	გეომეტრიის ძირითადი ცნებები · გეომეტრიული ობიექტები, გეომეტრიული ობიექტების აღწერა, კლასიფიკაცია; · გეომეტრიული ფიგურების ურთიერთმდებარეობა; გეომეტრია და ტრიგონომეტრია · მართკუთხა სამკუთხედი და ტრიგონომეტრიული თანაფარდობები მართკუთხა სამკუთხედში; · სინუსებისა და კოსინუსების თეორემები; სამკუთხედის ამოხსნა; ბრტყელი ფიგურები და ზომები; · მრავალკუთხედები, წრე, წრეწირი და მათი ზომები (წრფივი ზომები, ფართობი); · წრეწირის სიგრძე, წრის რკალის სიგრძის გამოსათვლელი ფორმულა; · წრის სექტორი, წრის სექტორის ფართობის გამოსათვლელი ფორმულა; · წესიერი მრავალკუთხედები და მათი თვისებები. სტერეომეტრიის საწყისები · მიმართებები სივრცეში: წრფეებს შორის, წრფესა და სიბრტყეს შორის, სიბრტყეებს შორის; · წერტილის, მონაკვეთის ორთოგონალური დაგეგმილება სიბრტყეზე; მანძილი წერტილიდან სიბრტყემდე; · კუთხე სიბრტყეებს შორის; კუთხე წრფესა და სიბრტყეს შორის; ორწახნაგა კუთხე და მისი ზომა. · სიბრტყისადმი მართობი და დახრილი; თეორემა სამი მართობის შესახებ. სივრცული ფიგურები და ზომები · სივრცული ფიგურები, შლილები და ზომები (მრავალწახნაგა, პრიზმა, პირამიდა, ცილინდრი, კონუსი , სფერო, ბირთვი) და მათი ელემენტები; · სხეულების კლასიფიკაცია; ზედაპირის ფართობი, მოცულობა;
2. ანალიზური გეომეტრია, გარდაქმნები	ანალიზური გეომეტრიის ელემენტები სივრცეში. · საკოორდინატო სიბრტყე, ორ წერტილს შორის მანძილი სიბრტყეზე; · წრეწირის განტოლება; · მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა სივრცეში, წერტილის კოორდინატები. · ნამდვილ რიცხვთა წყვილის (სამეულის) გამოსახვა საკოორდინატო სივრცეში; ორ წერტილს შორის მანძილი სივრცეში; · წრფის განტოლება სივრცეში. ორ წერტილზე გამავალი წრფის განტოლება. · გეომეტრიული გარდაქმნები სიბრტყეზე: ცენტრული და ღერძული სიმეტრია, პარალელური გადატანა. ჰომოთეტია. მობრუნება წერტილის გარშემო. ვექტორები, ვექტორის სიგრძე; · მოქმედებები ვექტორებზე, ვექტორების ჯამი, ვექტორების სკალარული ნამრავლი და სკალარზე გამრავლება; კუთხე ორ ვექტორს შორის. ვექტორის სიგრძე. · ვექტორებისა და მათზე მოქმედებების გამოსახვა კოორდინატებში.
თემა/ თემატური ბლოკი (4): სტატისტიკა და ალბათობა
1. მონაცემთა ანალიზი	კვლევის დაგეგმვა, მონაცემთა წყაროები და მოპოვების ხერხები · საკვლევი თემის განსაზღვრა, მონაცემების შეგროვება; · მონაცემთა მოპოვების მეცნიერებაში (საბუნებისმეტყველო, ჰუმანიტარული, სოციალური, ტექნიკური მეცნიერებები), წარმოებაში, მართვაში, ეკონომიკაში, განათლებაში, სპორტში, მედიცინაში, მომსახურებასა და სოფლის მეურნეობაში: · მონაცემების შეგროვების ხერხები, დაკვირვება, ექსპერიმენტი, მზა კითხვარით გამოკითხვა, მონაცემების შეგროვება ონლაინ პლატფორმებით); · მონაცემების აღრიცხვა, მოწესრიგება, დამუშავება/ანალიზი. მონაცემთა წარმოდგენის ფორმები · მონაცემთა წარმოდგენისთვის სხვადასხვა დიაგრამების და პროგრამების გამოყენება; (დიაგრამა: წერტილოვანი, ხაზოვანი, სვეტოვანი, წრიული, ფოთლებიანი ღეროების მსგავსი დიაგრამა, ჰისტოგრამა, პოლიგონი, დაგროვილ ფარდობით სიხშირეთა დიაგრამა); მონაცემთა კლასიფიკაცია და ორგანიზება: · მონაცემთა კლასიფიკაცია და ორგანიზება: რაოდენობრივ მონაცემთა დაჯგუფება სასრული რაოდენობის ინტერვალთა კლასებად; მონაცემთა მოწესრიგებული ერთობლიობების რაოდენობრივი და თვისობრივი ნიშნები: · ტიპური და გამორჩეული (მაგალითად, ექსტრემალური, იშვიათი) მონაცემები; · სიხშირეთა განაწილება, დაგროვილი სიხშირე, დაგროვილი ფარდობითი სიხშირე ცენტრალური ტენდენციის საზომები: საშუალო, მოდა, მედიანა; · გაფანტულობის საზომები: დიაპაზონი (უდიდესი და უმცირესი მონაცემები, ამოვარდნილი მონაცემი); სტანდარტული გადახრა; · ნორმალური განაწილება; მოდელირება ფუნქციით და სტატისტიკა · საუკეთესო მიახლოების წრფე/წირი მხოლოდ თვალსაჩინო დონეზე, მიახლოებითი წარმოდგენა · დაწყვილებული მონაცემები, კორელაცია (ძლიერი, ზომიერი, სუსტი); კლასტერი;
2. ხდომილობის ალბათობა	ხდომილობა და მისი ალბათობა; · ელემენტარულ ხდომილობათა სივრცე; ოპერაციები ხდომილობებზე; არათავსებადი, საწინააღმდეგო, დამოუკიდებელი ხდომილობები. · ალბათობის კლასიკური განსაზღვრება. ხდომილობის ალბათობის გამოთვლა. · დამოუკიდებელი და დამოკიდებული ხდომილობები; ხდომილობათა ჯამი და ნამრავლი; ჯამის და ნამრავლის ალბათობა; · გეომეტრიული ალბათობა; (მონაკვეთზე და ბრტყელი ფიგურის შემთხვევაში); კომბინატორიკა · გადანაცვლებათა, ჯუფთებათა და წყობათა რაოდენობები; · სასრული სიმრავლის ქვესიმრავლეთა რაოდენობის ფორმულა.

ბელა აკობიძის პორტფოლიო

მათემატიკის სტანდარტი

Комментариев нет:

Отправить комментарий